Kvaternionen är mer levande än någonsin: NASA och videospel använder den mer än ett sekel efter upptäckten
Det hade regnat rejält den 16 oktober 1943 på morgonen, så när det klarnade avslutade Sir William Rowan Hamilton sin whisky (ingen whisky, varför det var irländskt) och frågade sin sköra fru om de ville gå ut på en promenad runt Dublin. Han hade arbetat med ett matematiskt problem som involverade komplexa tal i flera år utan framgång, och bestämde sig för att det var en bra idé att få lite luft.
Det var vad han gjorde. De gick, pratade om sina barns framtid och när de korsade Broom Bridge tändes plötsligt Sir Williams glödlampa. "Helen!" utbrast han, "Jag behöver inte multiplicera trillingar: jag kan använda fyrdubblar!" Helen visste förstås ingenting, men i det ögonblicket föddes quaternions, en förlängning av reella tal som mer än ett eller ett halvt sekel senare är avgörande för NASA:s rymduppdrag och även för videospelsindustrin. Bra för Sir William.
Värdig efterträdare till Sir Isaac Newton Sir William Rowan Hamilton (Dublin, 1805-1865) stack ut från barndomen. Redan vid tretton års ålder talade han flera europeiska språk, men även persiska, arabiska, sanskrit och malajiska. När han var 8 år gammal var hans berömmelse redan anmärkningsvärd, och turnén med det amerikanska calculus underbarnet, Zerah Colburn, gav honom möjligheten att bevisa sin briljans.
Den 9-årige amerikanska pojken krossade honom på ett huvudräkningstest, och det visade lilla Hamilton vägen. Han skulle fortsätta studera språk, men det han ville var att ägna sig åt matematik. År 1823 uppnådde den unge mannen första plats bland 100 kandidater i Trinity College-examen.
Det prestigefyllda irländska universitetet upptäckte snart briljansen hos Hamilton, som redan på sin studenttid skrev en del av sin avhandling om optik, den välkända "Theory of Ray Systems". Det var nyckeln så att han 1827 hamnade i rollen som Royal Astronomer of Ireland, en välbetald stol som var ovanlig för att den skulle hamna i händerna på en student. Inte nog med det: det gav Hamilton möjligheten att forska fritt, något han inte skulle ha kunnat göra i en hypotetisk lärartjänst vid Trinity College.
Hans arbete inom optikområdet skulle sluta blandas med dynamik och algebra på 1830-talet. Hans arbete med flera kollegor ledde till att han strävade efter ett mycket speciellt mål: att försöka generalisera komplexa tal för att representera rotationer och rörelser av vektorer i det tredimensionella rummet. Om han lyckades skulle han ha ett mycket kraftfullt verktyg för att formulera fysikens grundläggande lagar och beskriva stela kroppars rörelse i rymden. 1833 presenterade han ett dokument för Royal Irish Academy där han definierade additions- och maltiplikationsoperationer på par av reella tal.
Han var den första matematikern som behandlade komplexa tal som ordnade par (Gauss hade gjort det tidigare, men utan att publicera sina upptäckter) och hans vision var nära relaterad till fysiken. För att försöka avancera inom det fältet försökte Hamilton studera vad han kallade "trillingteorin", hyperkomplexa tal refererade till tredimensionellt rymd på samma sätt som komplexa tal refererade till tvådimensionellt rymd. Det var detta som ledde honom till upptäckten av quaternions.
Trillingarna hade inte de gemensamma egenskaperna för komplexa tal när de försökte multiplicera dem och hans besatthet av problemet var sådan att till och med hans barn slutade med att fråga honom samma sak varje morgon: "Jaså pappa, kan du multiplicera trillingar nu?", varpå han svarade: "nej, för nu kan jag bara addera och subtrahera dem." Och så kom den där åkturen. Hamilton skulle beskriva det lyckliga ögonblicket av plötslig upptäckt i ett brev till en av sina söner femton år efter att det inträffade: "I morgon är det femtonde födelsedagen för quaternions. De kom till liv, eller lätta, fullvuxna, den 16 oktober 1843, när jag gick med Mrs.
Hamilton mot Dublin, och vi anlände till Broughmans kretslopp, och då tänkte jag på den stängda broen i Broughman's Circle och That is say galvanic. gnistor som föll var de fundamentala ekvationerna mellan i, j, k precis som jag har använt dem sedan dess. Jag tog fram, på den tiden, en fickanteckningsbok, som fortfarande finns, och gjorde en anteckning, på vilken jag just i det ögonblicket kände att det möjligen skulle vara värdefullt att förlänga mitt arbete i åtminstone de tio (eller det kan vara femton) år som kommer. Det är rättvist att säga att detta hände för att jag i det ögonblicket kände att ett problem hade lösts, en intellektuell lust lindrats, en lust som hade förföljt mig i åtminstone de föregående femton åren.
Jag kunde inte motstå impulsen att ta min kniv och gravera på en sten på Brougham Bridge den grundläggande formeln med symbolerna i, j, k: i2=j2=k2=ijk=−1 som innehöll lösningen på problemet, som sedan har överlevt som en inskription. Hamilton kallade en quadruple med dessa multiplikationsregler för en quaternion, och han ägnade resten av sitt liv åt att studera dem, utveckla dem och lära ut dem till studenter och forskare. Kvaternioner i rymden, quaternioner i videospel Studiet av quaternions har lett till många andra matematiska upptäckter, men deras tillämpning har varit överraskande mer än ett och ett halvt sekel efter den promenaden.
Faktum är att kvaternioner används i flygdatorer eller i simuleringsstudier där stora vinkelförändringar är inblandade när man övervakar rymdfarkostens höjd. Användningen av quaternions eliminerar problem som Eulers singularitet och tillåter användning av endast fyra parametrar, förutom att vara idealisk för digital felkontroll. Faktum är att de så kallade enhetliga kvaternionerna tillåter oss att ha en matematisk notation för att representera objektens orientering och rotationer i tre dimensioner, och av denna anledning används de i stor utsträckning inom robotik eller mekanisk orbitalnavigering av satelliter och har använts i NASA-uppdrag i decennier.
Samma förmåga att representera rotationer i rymden är nyckeln till utvecklingen av 3D-videospel och till och med animation: flera motorer använder dessa system för att representera dessa rotationer och föra dem till den virtuella världen med precision.
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Publicerad av Xataka
23 june 2026, 21:31
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El cuaternión está más vivo que nunca: la NASA y los videojuegos lo usan más de un siglo después de su descubrimiento
Beskrivning
Había llovido a cántaros aquella mañana del 16 de octubre de 1943, así que cuando escampó Sir William Rowan Hamilton se terminó su whiskey (de whisky nada, que para eso era irlandés) y le dijo a su frágil mujer que si salían a dar una vuelta por Dublín. Llevaba años trabajando en un problema matemático relacionado con los números complejos sin éxito, y decidió que era buena idea airearse. Eso hizo. Pasearon, hablaron del futuro de sus hijos y mientras cruzaban el Broom Bridge a Sir William se le encendió la bombilla de repente. "¡Helen!", exclamó, "¡no necesito multiplicar tripletas: puedo usar cuádruplos!". Helen no se enteraba de nada, claro, pero en aquel momento nacieron los cuaterniones, una extensión de los números reales que más de un siglo u medio después son críticos para las misiones espaciales de la NASA y también para la industria de los videojuegos. Bien por Sir William. Digno sucesor de Sir Isaac Newton Sir William Rowan Hamilton (Dublín, 1805-1865) despuntó desde la niñez. A los trece años ya hablaba varios idiomas europeos, pero también persa, árabe, sánscrito o malayo. Cuando tenía 8 años su fama ya era notable, y la gira del prodigio americano del cálculo, Zerah Colburn, le dio la oportunidad de probar su brillantez. Aquel niño estadounidense de 9 años le aplastó en una prueba de aritmética mental, y al pequeño Hamilton aquello le señaló el camino. Seguiría estudiando idiomas, pero a lo que quería era dedicarse a las matemáticas. En 1823 aquel joven logró el primer puesto entre 100 candidatos en los exámenes del Trinity College. La prestigiosa universidad irlandesa pronto descubrió la brillantez de Hamilton, que ya en su época de estudiante escribió parte de su tratado sobre óptica, la conocida "Teoría de los Sistemas de Rayos". Aquello fue clave para que en 1827 acabara ocupando el puesto de Astrónomo Real de Irlanda, una cátedra bien pagada y que era inaudito que acabara en manos de un subgraduado. No solo eso: le daba a Hamilton la oportunidad de investigar con total libertad, algo que no hubiera podido hacer en un hipotético puesto de profesor del Trinity College. Su trabajo en el campo de la óptica acabaría mezclándose con el de la dinámica y el álgebra en la década de 1830. Su trabajo con varios colegas le llevó a perseguir un objetivo muy especial: intentar generalizar los números complejos con el fin de representar rotaciones y movimientos de vectores en el espacio tridimensional. Si lo lograba, contaría con una herramienta muy potente para formular las leyes básicas de la física y describir el movimiento de cuerpos rígidos en el espacio. En 1833 presentó un artículo a la Real Academia Irlandesa en el que definía operaciones de suma y maltiplicación de parejas de números reales. Fue el primer matemático en tratar los números complejos como pares ordenados (Gauss lo había hecho antes, pero sin publicar sus descubrimientos) y su visión estaba muy relacionada con la física. Para tratar de avanzar en ese campo, Hamilton trató de estudiar lo que llamó la "Teoría de las Tripletas", números hipercomplejos referidos al espacio tridimensional del mismo modo que los números complejos se referían al espacio de dos dimensiones. Fue aquello lo que le llevó al descubrimiento de los cuaterniones. Las tripletas no guardaban las propiedades comunes de los números complejos al intentar multiplicarlas y su obsesión con el problema era tal que hasta sus hijos acabaron preguntándole todas las mañanas lo mismo: "Bueno papá, ¿puedes ya multiplicar tripletas?", a lo que él contestaba: "no, por ahora solo puedo sumarlas y restarlas". Y entonces llegó aquel paseo. Hamilton describiría aquel momento feliz de descubrimiento repentino en una carta a uno de sus hijos quince años después de que ocurriera: "Mañana será el decimoquinto cumpleaños de los cuaterniones. Surgieron a la vida, o a la luz, ya crecidos, el 16 de octubre de 1843, cuandome encontraba caminando con la Sra. Hamilton hacia Dublín, yllegamos al Puente de Broughman. Es decir, entonces y ahí, cerré el circuito galvánico del pensamiento y las chispas que cayeron fueron las ecuaciones fundamentales entre i, j, k; exactamente como las he usado desde entonces. Saqué, en ese momento, una libreta de bolsillo, que todavía existe, e hice una anotación, sobre la cual, en ese mismo preciso momento, sentí que posiblemente sería valioso el extender mi labor por al menos los diez (o podían ser quince) años por venir. Es justo decir que esto sucedía porque sentí, en ese momento, que un problema había sido resuelto, un deseo intelectual aliviado, deseo que me había perseguido por lo menos los quince años anteriores. No pude resistir el impulso de coger mi navaja y grabar en una piedra del Puente Brougham la fórmula fundamental con los símbolos i, j, k: i2=j2=k2=ijk=−1 que contenían la solución del Problema, que desde entonces sobrevive como inscripción. Hamilton llamó a un cuádruplo con esas reglas de multiplicación un cuaternión, y dedicó el resto de su vida a estudiarlos, desarrollarlos y a enseñárselo a estudiantes y académicos. Cuaterniones en el espacio, cuaterniones en los videojuegos El estudio de los cuaterniones ha derivado en otros muchos descubrimientos matemáticos, pero su aplicación ha sido sorprendente más de un siglo y medio después de aquel paseo. De hecho los cuaterniones se utilizan en computadoras de vuelo o en estudios de simulación en los que están involucrados grandes cámbios en el ángulo a la hora de monitorizar la altitud de la nave espacial. El uso de los cuaterniones elimina problemas como la singularidad de Euler y permite utilizar tan solo cuatro parámetros, además de ser ideales para control digital de errores. De hecho los llamados cuaterniones unitarios permiten contar con una notación matemática para representar las orientaciones y las rotaciones de objetos en tres dimensiones, y por ello son ampliamente utilizados en robótica o navegación mecánica orbital de satélites y se usan en misiones de la NASA desde hace décadas. Esa misma capacidad de representar rotaciones en el espacio es clave para el desarrollo de videojuegos 3D e incluso la animación: varios motores hacen uso de estos sistemas para representar esas rotaciones y llevarlas al mundo virtual con precisión. Insistimos. Bien por Sir William. 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